Mittelwert, Median und Modus: eine Kennzahl wählen, die nicht in die Irre führt

Worum es geht

Das NIST/SEMATECH-Handbuch definiert drei Lagemasse: Der Mittelwert ist die Summe der Datenpunkte geteilt durch ihre Anzahl; der Median ist der Wert des Punkts, bei dem die Hälfte der Daten kleiner und die Hälfte grösser ist; der Modus ist der am häufigsten vorkommende Wert, nicht notwendigerweise eindeutig, und wird typischerweise qualitativ verwendet. Es listet zudem Alternativen zu Mittelwert und Median auf, die für nicht normalverteilte Daten entwickelt wurden: das Mid-Mean (Mittelwert der Werte zwischen dem 25. und 75. Perzentil), das getrimmte Mittel und das winsorisierte Mittel. Die Dokumentation des Python-Moduls statistics hält fest, dass der Mittelwert stark von Ausreissern beeinflusst wird und nicht notwendigerweise ein typisches Beispiel der Datenpunkte ist, dass der Median ein robustes Mass der zentralen Lage ist und weniger von Ausreissern beeinflusst wird, und dass das harmonische Mittel oft angebracht ist, wenn Verhältniswerte oder Raten wie Geschwindigkeiten gemittelt werden.

Warum es wichtig ist

Jede Kennzahl beantwortet eine andere Frage. „Was werden tausend solcher Elemente insgesamt kosten?" braucht den Mittelwert, weil Mittelwert mal Anzahl der Summe entspricht. „Wie sieht ein typisches Element aus?" verlangt den Median, sobald die Verteilung schief ist, was bei Dauern, Grössen und Kosten fast immer der Fall ist. Den Mittelwert einer schiefen Verteilung als „typisch" auszugeben, überzeichnet den typischen Fall; den Median als Planungsgrösse anzugeben, unterschätzt die Summe.

So wird es angewendet

• Vor dem Zusammenfassen die Form ansehen: ein Histogramm oder die sortierten Werte. Symmetrisch mit leichten Flanken: Mittelwert und Median stimmen überein, beide funktionieren. Schief oder mit schweren Flanken: den Median und ein hohes Perzentil angeben, den Mittelwert nur, wenn Summen zählen.
• Bei Verhältniswerten und Raten (Anfragen pro Sekunde, Kilometer pro Stunde) das Verhältnis der Summen berechnen, oder das harmonische Mittel verwenden, wenn jedes Verhältnis gleiches Gewicht verdient; das arithmetische Mittel von Verhältniswerten ignoriert die Nenner.
• Bei multiplikativen Grössen (Wachstumsfaktoren, Beschleunigungen) das geometrische Mittel verwenden.
• Median oder Perzentile nie über Gruppen oder Zeitfenster mitteln; stattdessen aus den zusammengeführten Rohdaten oder aus Histogrammen neu berechnen.
• Die Anzahl neben jeder Kennzahl angeben; ein Median aus drei Werten ist kaum eine Kennzahl.
• Den Modus für kategoriale Daten verwenden (die häufigste Fehlerklasse), nicht für kontinuierliche Messungen, wo er von der Klassenbreite abhängt.

Stolpersteine

Ein Mittelwert, der sich bewegt, während der Median unverändert bleibt, zeigt eine Veränderung in der Flanke, nicht im typischen Fall – und umgekehrt. Ein getrimmtes Mittel verbirgt die Flanke, die der Leserschaft wichtig sein könnte; angeben, was getrimmt wurde. Zwei Gruppen mit gleichem Mittelwert können völlig unterschiedliche Formen haben. Eine Kennzahl ohne Streuung und Anzahl ist nur eine halbe Zahl.